Abaixo vou inserir o meu texto em html:
A essência da definição da derivada e como ela aparece tanto na teoria matemática quanto na prática computacional em simulações.
📐 Definição formal da derivada
A derivada de uma função f(x) em um ponto (x) é definida como o limite:
f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx
- Esse limite mede a taxa de variação instantânea da função.
- Em termos geométricos, é a inclinação da reta tangente à curva no ponto (x).
💻 Aproximação numérica (diferenças finitas)
Nos computadores, não conseguimos calcular o limite diretamente. Então usamos aproximações:
- Diferença para frente: f′(x)≈f(x+Δx)−f(x)Δx
- Diferença para trás: f′(x)≈f(x)−f(x−Δx)Δx
- Diferença central (mais precisa): f′(x)≈f(x+Δx)−f(x−Δx)2Δx
🔄 Ligação com o FOR no Matlab/Python
Quando você descreveu o loop, é exatamente isso:
for i = 2:N
di_dt = (i_vec(i) - i_vec(i-1)) / delta_t;
vL(i) = L * di_dt;
end
i_vec(i)→ corrente no instante atuali_vec(i-1)→ corrente no instante anterior(i_vec(i) - i_vec(i-1)) / delta_t→ aproximação da derivada didtvL(i) = L * di/dt→ lei do indutor: tensão é proporcional à taxa de variação da corrente.
⚡ Interpretação física
- O indutor resiste a variações rápidas de corrente.
- Por isso, VL=L⋅didt
- Se a corrente muda muito rápido, a tensão no indutor cresce bastante.
- A simulação numérica captura isso usando a diferença entre valores consecutivos no vetor de corrente.
Vamos estruturar isso passo a passo para que você consiga simular a tensão no indutor (V_L) em um circuito RLC série submetido a uma fonte de 10 V DC aplicada em (t=0).
1. Equações do circuito RLC série
O circuito tem três elementos em série: resistor (R), indutor (L) e capacitor (C).
A equação diferencial que descreve a corrente (i(t)) é:
Ld2i(t)dt2+Rdi(t)dt+1Ci(t)=dVfonte(t)dt
👉 Como a fonte é DC (10 V constante), sua derivada é zero. Então a equação se simplifica para:
Ld2i(t)dt2+Rdi(t)dt+1Ci(t)=0
Ou seja, é uma equação homogênea de segunda ordem.
2. Condições iniciais
- Antes de (t=0), o circuito está em repouso: (i(0)=0).
- No instante (t=0^+), o capacitor está inicialmente descarregado, então a tensão de 10 V aparece sobre ele.
- Isso gera uma dinâmica transitória onde a corrente começa a crescer e o indutor reage.
3. Tensão no indutor
A tensão no indutor é dada por:
VL(t)=L⋅di(t)dt
👉 Para calcular numericamente, usamos a aproximação por diferenças finitas:
didt≈i[k]−i[k−1]Δt
Assim:
VL[k]=L⋅i[k]−i[k−1]Δt
4. Implementação em Python (estilo Matlab)
Aqui está um esqueleto de código para simular:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Parâmetros do circuito
R = 100 # ohms
L = 0.01 # henry
C = 0.0001 # farad
Vdc = 10 # volts
# Tempo de simulação
dt = 1e-5
t_max = 0.01
t = np.arange(0, t_max, dt)
# Vetores de corrente e tensão
i = np.zeros_like(t)
vL = np.zeros_like(t)
# Simulação usando método de Euler
for k in range(1, len(t)):
# Equação diferencial discretizada
di_dt = (Vdc - R*i[k-1] - (1/C)*np.trapz(i[:k], t[:k])) / L
i[k] = i[k-1] + di_dt*dt
# Tensão no indutor
vL[k] = L * (i[k] - i[k-1]) / dt
# Plotar resultados
plt.plot(t, vL, label="Tensão no Indutor")
plt.plot(t, i, label="Corrente no circuito")
plt.legend()
plt.xlabel("Tempo (s)")
plt.show()
5. Interpretação
- Inicialmente, (V_L) é alto porque a corrente varia rapidamente.
- Com o tempo, o indutor se “acostuma” e a tensão nele cai.
- No regime permanente, como a fonte é DC, o indutor se comporta como um curto-circuito VL→0 e o capacitor como um circuito aberto i→0.
Teste